Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）又若b=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）将cosC=-cos（A+B）代入已知等式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB的值代入并利用基本不等式变形求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：1）在△ABC中，C=π-（A+B），
∴cosC=-cos（A+B），
∵cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=sinAsinB-

3

sinAcosB=sinA（sinB-

3

cosB）=0，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，
∵0＜B＜π，cosB≠0，
∴tanB=

sinB

cosB

=

3

，
∴B=

π

3

；
2）∵b=

3

，
∴b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤3，当且仅当a=c=

3

时取等号，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

ac≤

3 3

4

，
则△ABC面积的最大值是

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．