Question

抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p₁，p₂，p₃，p₄，p₅，p₆，经统计发现，数列{p_n}恰好构成等差数列，且p₄是p₁的3倍．
（Ⅰ）求数列{p_n}的通项公式．
（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否则已获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平？请说明理由；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试在下面的表格中列举出两种可能的方案（不必证明）．

方案序号	甲胜出对应点数	乙胜出对应点数	丙胜出对应点数
①
②

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设数列{p_n}的公差为d，由p₄是p₁的3倍及概率的性质，得到方程，解方程，继而求得通项公式．
（Ⅱ）分别求出甲乙的概率，然后比较即可．
（Ⅲ）根据投掷的点数写出所有的可能即可．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{p_n}的公差为d，由p₄是p₁的3倍及概率的性质，有

P1+3d=3P1 6P1+ 6×5 2 d=1

，
解得P1=

1

16

，d=

1

24

，
故Pn=

2n+1

48

，1≤n≤6，n∈N^*
（Ⅱ）不公平，
甲获胜的概率P_甲=p₁+p₂+p₃=

3+7+11

48

=

7

16

，
甲获胜的概率PP_乙=p₄+p₅+p₆=

5+9+13

48

=

9

16

，
二者概率不同，所以不公平．
（Ⅲ）（共6种可能，答出任意2种即可）

	甲获胜对应点数	乙获胜对应点数	丙获胜对应点数
①	1，6	2，5	3，4
②	1，6	3，4	2，5
③	2，5	3，4	1，6
④	2，5	1，6	3，4
⑤	3，4	1，6	2，5
⑥	3，4	2，5	1，6

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，概率的求法，属于基础题．