Question

若存在正实数M，对于任意x∈（1，+∞），都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（1，+∞） 上是有界函数．下列函数：
①f（x）=

1

x-1

；   
②f（x）=

x

x2+1

；   
③f（x）=

lnx

x

；  
④f（x）=xsinx．
其中“在（1，+∞）上是有界函数”的序号为（　　）

• A、②③
• B、①②③
• C、②③④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①求出函数f（x）的值域为（0，+∞），即可判断；②先将f（x）变形，再应用基本不等式求出最值，从而根据新定义加以判断；③应用导数求出单调区间，求出极值，说明也为最值，再根据新定义判断；④先判断函数有无单调性，再运用三角函数的有界性判断即可．

解答： 解：①f（x）=

1

x-1

在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数；
②f（x）=

x

x2+1

（x＞1）即f（x）=

1

x+ 1 x

，由于x+

1

x

＞2（x＞1），0＜f（x）＜

1

2

，故|f（x）|＜

1

2

，故存在M=

1

2

，即f（x）在（1，+∞）上是有界函数；
③f（x）=

lnx

x

，导数f′（x）=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，故x=e时取极大值，也为最大值且为

1

e

，故存在M=

1

e

，在（1，+∞）上有|f（x）|≤

1

e

，故函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数；
④f（x）=xsinx导数f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不单调，且|f（x）|≤x，故不存在M，函数f（x）在（1，+∞）上不是有界函数．
故选A．

点评：本题主要考查函数的新定义，正确理解定义是解题的关键，同时考查函数的单调性和应用，以及利用基本不等式和导数求最值的方法，是一道中档题．