Question

已知A、D分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD的中点，点F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，且|F₁F₂|=2

3

，

PF1

•

PF2

=-

7

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线x=

34

15

分别交于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2

3

，a²-b²=c²．从而得到P（-

a

2

，

b

2

），c=

3

，

a2

4

-3+

b2

4

=-

7

4

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，直线BS的方程为y=-

1

4k

(x-2)，由此求出M（

34

15

，

64

15

k），N（

34

15

，-

1

15k

），k＞0，从而能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（1）由题意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2

3

，a²-b²=c²．（1分）
∴P（-

a

2

，

b

2

），c=

3

，F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），（2分）
∴

PF1

=（-

3

+

a

2

，-

b

2

），

PF2

=（

3

+

a

2

，-

b

2

），

PF1

•

PF2

=

a2

4

-3+

b2

4

=-

7

4

，
∴a²+b²=5．（4分）
∴a²=4，b²=5，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）由题意知直线AS的斜率k存在，且k＞0，
∴直线AS的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，并整理，得
（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
记S（x₁，y₁），则x1-2=-

16k2

1+4k2

，x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=k(x1+2)=

4k

1+4k2

，
∴直线BS的方程为y=-

1

4k

(x-2)，
由

y=k(x+2) x= 34 15

，得M（

34

15

，

64

15

k），k＞0，
由

y=- 1 4k (x-2) x= 34 15

，得N（

34

15

，-

1

15k

），k＞0．（10分）
∴|MN|=|

64k

15

+

1

15k

|=

64k

15

+

1

15k

≥

16

15

．
∴|MN|的最小值为

16

15

．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想和均值定理的合理运用．