Question

已知是A、B、C直线l上的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，且对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,平面向量数量积的运算

专题：综合题,平面向量及应用

分析：利用三点共线的等价条件，建立条件关系，求出函数y=f（x）的解析式，再分类讨论，化为具体不等式，即可确定实数m的取值范围

解答： 解：∵A、B、C是直线l上不同的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，
∴f（x）+

1

x

+（1-x）=1，
∴f（x）=x-

1

x

，
∴f′（x）=1+

1

x2

，
∴f（x）为增函数，且m≠0，
若m＞0，则f（mx）、mf（x）均为增函数，此时不符合题意；
若m＜0，则mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，∴1+

1

m2

＜2x²，
∵y=2x²在[1，+∞）上的最小值为2，∴1+

1

m2

＜2，
∴m＜-1．
故答案为：m＜-1．

点评：本题主要考查不等式恒成立的应用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，利用三点共线的等价条件，以及复合函数的单调性之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．