Question

若不等式|x-a|-|x|＜2-a²对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：把2-a²看作一个参数，只需2-a²大于|x-a|-|x|的最大值．用a表示|x-a|-|x|的最大值，于是得到一个关于a的不等式，解此不等式即可．

解答： 解：∵不等式|x-a|-|x|＜2-a²对x∈R恒成立，
∴2-a²大于|x-a|-|x|的最大值，
根据绝对值的几何意义，
|x-a|表示数轴上的数x到a距离，|x|表示数轴上的数x到原点的距离，
∴|x-a|-|x|的最大值为|a-0|即|a|，
∴2-a²＞|a|，即|a|²+|a|-2＜0，得（|a|+2）（|a|-1）＜0，
解得0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
故答案为：（-1，1）．

点评：本题属于不等式恒成立问题，有如下常见套路：
（1）若对x∈D，不等式a≥f（x）恒成立，则a≥[f（x）]_max；
（2）若对x∈D，不等式a≤f（x）恒成立，则a≤[f（x）]_min．
注：原不等中是否含有等于号，f（x）是否有最值，这都可能会影响到a能否取等号，对具体问题应具体分析，不能照搬套路．