Question

11．△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其中a，b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，且cos（A+B）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的度数；
（2）求AB的长；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式表示求出cosC的值，确定出C的度数；
（2）由a，b为已知方程的解，利用韦达定理求出a+b与ab的值，利用余弦定理求出c的值即可；
（3）由ab，sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（1）依题意得，cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两个根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=12-4-2=6，
∴c=$\sqrt{6}$；
（3）由（1）（2）知C=$\frac{π}{3}$，ab=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，韦达定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．