Question

3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD的中点，AA₁=2AB=2BC=4．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁
（2）点E在侧棱AA₁上，求四棱锥E-BB₁D₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C₁交B₁D₁于O₁，连结AC，AO₁，通过证明四边形AOC₁O₁是平行四边形得出OC₁∥AO₁，于是C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）证明AO⊥平面BB₁D₁D，于是E到平面BB₁D₁D的距离为AO，代入体积公式计算即可．

解答 （1）证明：连结A₁C₁交B₁D₁于O₁，连结AC，AO₁，
则AO∥C₁O₁，AO=C₁O₁，
∴四边形AOC₁O₁是平行四边形，
∴OC₁∥AO₁，又OC₁?平面AB₁D₁，AO₁?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO⊥BD，
∵BB₁⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥BB₁，又BB₁∩BD=B，
∴AO⊥平面BB₁D₁D，
∵AA₁∥BB₁，A到平面BB₁D₁D的距离等于E到平面BB₁D₁D的距离．
∵AA₁=2AB=2BC=4，∴BD=2$\sqrt{2}$，AO=$\sqrt{2}$，
∴V${\;}_{E-B{B}_{1}{D}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形B{B}_{1}{D}_{1}D}•AO$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．