Question

设函数f(x)=

x2+1

，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义证明该函数的单调性是解决本题的关键．任取在区间[0，+∞）上两个自变量，比较相应的函数值大小关系，得出结论．

解答：证明：?x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

=

( x 2 1 +1)-( x 2 2 +1)

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

=

(x1+x2) (x   1 - x   2 )

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

，分母大于零，
由于0＜x₁＜x₂，故x_1⁺x_2＞0，x_1^-x₂＜0，故分子小于零，
因此f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．

点评：本题考查函数单调性的证明方法，考查函数单调性的定义，考查作差法比较大小等知识，考查学生的等价转化思想，分子有理化的方法，属于基本题型．