Question

6．已知△ABC中．
（1）设$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设向量$\overrightarrow{s}$=（2sinC，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{t}$=（sin2C，2cos²$\frac{c}{2}$-1），且$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$，若sinA=$\frac{1}{3}$，求sin（$\frac{π}{3}$-B）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用向量的减法法则化简得答案；
（2）由向量共线的坐标运算可得C，再由sinA=$\frac{1}{3}$求得cosA，sinB，cosB的值，展开sin（$\frac{π}{3}$-B）得答案．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$，
∴${\overrightarrow{BC}^2}={\overrightarrow{BA}^2}$，即$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BA}|$．
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：$\overrightarrow{s}$=（2sinC，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{t}$=（sin2C，2cos²$\frac{c}{2}$-1），且$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$，
则∴$2sinC（2co{s}^{2}\frac{C}{2}-1）=-\sqrt{3}sin2C$，则$2sinCcosC=-\sqrt{3}sin2C$，
得$sin2C=-\sqrt{3}sin2C$，∴sin2C=0，
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{2}$．
∵$sinA=\frac{1}{3}$，$C=\frac{π}{2}$，∴$sinB=cosA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$cosB=sinA=\frac{1}{3}$．
∴$sin（\frac{π}{3}-B）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB=\frac{{2\sqrt{6}-1}}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线的坐标表示，考查计算能力，属中档题．