Question

已知二次函数f（x）的二次项的系数为a，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
（Ⅰ）若函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）记f（x）的最大值为g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得f（x）+2x=a（x-1）（x-3），a＜0．可得f（x）=ax²-（2+4a）x+3a．再根据判别式△=0，求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由函数f（x）的解析式 可得g（a）=-a+

1

-a

-4，利用基本不等式求得g（a）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）＞-2x的解集为（1，3），所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），a＜0．
于是f（x）=ax²-（2+4a）x+3a．
因为函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，∴方程ax²-（2+4a）x+9a=0有两个相等的实数根．
∴△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0．即5a²-4a-1=0，解得a=1，或a=-

1

5

．
由于a＜0，所以a=-

1

5

，∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

． 
（Ⅱ）因为f（x）=ax²-（2+4a）x+3a且a＜0，
所以g(a)=

4a×3a-(2+4a)2

4a

=-

a2+4a+1

a

=-a+

1

-a

-4．
∵a＜0，所以-a＞0，∴g(a)=-a+

1

-a

-4≥2-4=-2，
当且仅当-a=

1

-a

，即a=-1时取等号．
所以g（a）的最小值为-2．

点评：本题主要考查二次函数的性质、基本不等式的应用，属于基础题．