Question

已知数列{a_n}满足

u

=（a_n+1，n+1），

v

=（a_n，n）且

u

-

v

=λ（2，1）
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）若数列{a_n}的首项a₁为奇数，前n项和为S_n，若S_n最小值为-16，求a₁．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an+1-an=2λ n+1-n=λ

，所以a_n+1-a=2，由此能证明数列{a_n}为等差数列．
（2）由已知条件得S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2=（n-

a1-1

2

）²-

(a1-1)2

4

，所以

(a1-1)2

4

=16，由此能求出a₁．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足

u

=（a_n+1，n+1），

v

=（a_n，n）且

u

-

v

=λ（2，1），
∴

an+1-an=2λ n+1-n=λ

，∴a_n+1-a=2，
∴数列{a_n}为等差数列．
（2）解：数列{a_n}的首项a₁为奇数，前n项和为S_n，S_n最小值为-16，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×2
=n²+（a₁-1）n
=（n-

a1-1

2

）²-

(a1-1)2

4

，
∴

(a1-1)2

4

=16，
解得a₁=9，或a₁=-7．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的首项的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．