Question

如图1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB=AD=

1

2

CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直如图2．

（1）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出ED⊥平面ABCD，BC⊥平面EBD，由此能证明平面EBD⊥平面EBC．
（2）由AD∥平面BEF，得D到平面BEF的距离与A到平面BEF的距离相等，过A作EB的垂线垂足为H，A到平面BEF的距离为AH，由此能求出直线BD与平面BEF所成角的正弦值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，
又∵ADEF是正方形，∴ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，
又∵平面EDB⊥平面ABCD，
又∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=1，
得DB=BC=

2

，∴BD²+BC²=DC²，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面EBD，
∴平面EBD⊥平面EBC．…（7分）
（2）解：∵ADEF是正方形，∴AD∥EF，
∵EF?平面BEF，AD?G平面BEF，∴AD∥平面BEF，
∴D到平面BEF的距离与A到平面BEF的距离相等，
又∵AD⊥AF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面BEF，∵AD∥EF，∴EF⊥平面ABF，
∴平面ABF⊥平面BEF，
过A作EB的垂线垂足为H，则AH⊥平面BEF，
∴A到平面BEF的距离为AH，
∵AB=AF=1，∴AH=

2

2

，…（12分）
又∵BD=

2

，设BD与平面BEF所成角为θ，
则sinθ=

AH

BD

=

1

2

．…（14分）

点评：本题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．