Question

已知函数f（x）=（x-a-1）e^x+（b+1）x，g（x）=x²e^x，a、b∈R．
（1）若b是函数g（x）的极大值点，求b的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在（0，+∞）内存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）若x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，求证：

ex1-ex2

x1-x2

＞e

x1+x2

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求导，得到函数的极小值点和极大值点，从而求出b的值，
（2）由（1）可知，f（x）=（x-a-1）e^x-x，求出f′（x）=xe^x-ae^x-1，得到a＞x-

1

ex

在（0，+∞）内有解；h（x）＞h（0）=-1，进而求出a的范围，
（3）不妨设x₁＞x₂，则原式即证ex1-ex2＞（x₁-x₂）e

x1+x2

2

，从而 ex1-x2-1＞（x₁-x₂）e

x1-x2

2

，令t=x₁-x₂，则原式即证e^t-1＞te

t

2

，设p（t）=e^t-te

t

2

-1（t＞0），通过求导得出结论．

解答： 解：（1）g′（x）=x（x+2）e^x，
令g′（x）=0，则x=0或x=-2
当x＞0时，在x=0附近有g′（x）＞；
当x＜0时，在x=0附近有g′（x）＜0
∴x=0是函数g（x）的极小值点．
当x＞-2时，在x=2附近有g′（x）＜0；
当x＜-2时，在x=-2附近有g′（x）＞0，
∴x=-2是函数g（x）的极大值点；
∴b=-2．
（2）由（1）可知，f（x）=（x-a-1）e^x-x，
∴f′（x）=xe^x-ae^x-1，
∵函数f（x）在（0，+∞）内存在单调递减区间
∴xe^x-ae^x-1＜0 在（0，+∞）内有解，
即a＞x-

1

ex

在（0，+∞）内有解；
∵函数h（x）=x-

1

ex

在（0，+∞）内单调递增，
∴在（0，+∞）内h（x）＞h（0）=-1，
∴函数f（x）在（0，+∞）内存在单调递减区间时，a＞-1，
（3）不妨设x₁＞x₂，则原式即证ex1-ex2＞（x₁-x₂）e

x1+x2

2

，
∵ex2＞0，两边同除以ex2得 ex1-x2-1＞（x₁-x₂）e

x1-x2

2

，
令t=x₁-x₂，则原式即证e^t-1＞te

t

2

，
下面进行证明．
设p（t）=e^t-te

t

2

-1（t＞0），
∴p′（t）=e^t-e

t

2

-

1

2

te

t

2

=e

t

2

（e

t

2

-1-

t

2

），
令u（t）=e

t

2

-1-

t

2

，
∵t＞0，
则u′（t）=

1

2

e

t

2

-

1

2

=

1

2

（e

t

2

-1）＞0，
∴函数u（t）是增函数，
∴u（t）＞u（0）=0，
∴p′（t）＞0
∴函数p（t）是增函数，
∴p（t）＞p（0）=0，
∴e^t-1＞te

t

2

，
综上，

ex1-ex2

x1-x2

＞e

x1+x2

2

成立．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值范围，以及不等式的证明．本题是一道综合题．