Question

已知函数f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

ωx

2

）+cos2ωx  （ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[

π

6

，

2π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），由函数的最小正周期求出ω的值；
（2）由（1）中f（x）=2sin2x+1，利用函数的单调性求出f（x）在[

π

6

，

2π

3

]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

wx

2

）+cos2ωx
=4sinωx•

1-cos( π 2 +ωx)

2

+cos2ωx
=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx
=2sinωx+2sin²ωx+（1-2sin²ωx）
=2sinωx+1；
∵T=

2π

ω

=π，∴ω=2；…（6分）
（2）由（1）知，f（x）=2sin2x+1；
∵

π

6

≤x≤

2π

3

，∴

π

3

≤2x≤

4π

3

；
当x=

2π

3

，即2x=

4π

3

时，f(x)min=2×(-

3

2

)+1=-

3

+1；
当x=

π

4

，即2x=

π

2

时，f（x）_max=2×1+1=3．…（12分）

点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用三角函数公式进行解答，是基础题．