Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

．
（1）证明：a²=4b²；
（2）若双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率为

3

2

，c²=a²-b²，即可得出结论；
（2）由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，利用e=

3

2

，即可求得椭圆方程．

解答： （1）证明：因为椭圆的离心率为

3

2

，所以e=

c

a

=

3

2

，…（1分）
即c2=

3

4

a2，
又因为c²=a²-b²…（2分）
所以

3

4

a2=a2-b2，…（3分）
所以b2=

1

4

a2，即a²=4b²，…（4分）
（2）解：双曲线的渐近线为y=±x，…（5分）
代入椭圆得

x2

a2

+

x2

b2

=1．
即

x2

4b2

+

x2

b2

=

5x2

4b2

=1．…（6分）
所以x2=

4

5

b2，x=±

2

5

b，y2=

4

5

b2，y=±

2

5

b．…（7分）
则第一象限的交点坐标为(

2

5

b，

2

5

b)．…（8分）
所以四边形的面积为S=4×

2

5

b×

2

5

b=

16

5

b2=16．…（10分）
所以b²=5..…（11分）
所以椭圆方程为

x2

20

+

y2

5

=1．…（12分）

点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．