Question

在（1+x+x²）ⁿ=D

0 n

+D

1 n

x+D

2 n

x²+…+D

r n

x^r+…+D

2n-1 n

x^2n-1+D

2n n

x²ⁿ的展开式中，把D

0 1

，D

1 n

，D

2 n

，…，D

2n n

叫做三项式系数．
（1）当n=2时，写出三项式系数D

0 2

，D

1 2

，D

2 2

，D

3 2

，D

4 2

的值；
（2）类比二项式系数性质C

m n+1

=C

m-1 n

+C

m n

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D

m+1 n+1

（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；
（3）求D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

的值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：排列组合,二项式定理

分析：（1）因为（1+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，继而求得相应的值．
（2）类比二项式系数的性质可得三项式系数的性质，展开计算即可．
（3）分别写出（1+x+x²）²⁰¹⁴和（x-1）²⁰¹⁴的展开式，而（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴，二项式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通项Tr+1=

C

r 2014

(x3)2014-r，得到的展开式中没有x²⁰¹⁴项，问题得以解决．

解答： 解：（1）因为（1+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
所以

D

0 2

=1，

D

1 2

=2

，D

2 2

=3

，D

3 2

=2，

D

4 2

=1．
（2）类比二项式系数性质

C

m n+1

=

C

m-1 n

+

C

m n

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：

D

m+1 n+1

=

D

m-1 n

+

D

m n

+

D

m+1 n

，（1≤m≤2n-1）
因为（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ，
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（D

0 n

+D

1 n

x+D

2 n

x²+…+D

r n

x^r+…+D

2n-1 n

x^2n-1+D

2n n

x^2n）．
上式左边x^m+1的系数为

D

m+1 n+1

，
而上式右边x^m+1的系数为

D

m+1 n

+D

m n

+

D

m-1 n

，
由（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ为恒等式，得
：

D

m+1 n+1

=

D

m-1 n

+

D

m n

+

D

m+1 n

，（1≤m≤2n-1）；
（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁴=D

0 2014

x⁰-D

1 2014

x¹+D

2 2014

x²-D

3 2014

x³+…+D

2014 2014

x²⁰¹⁴，
（x-1）²⁰¹⁴=C

0 2014

x²⁰¹⁴-C

1 2014

x²⁰¹³+C

2 2014

x²⁰¹²-…+C

2014 2014

．
∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴中x²⁰¹⁴系数为D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

，
又∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴            
而二项式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通项Tr+1=

C

r 2014

(x3)2014-r，
因为2014不是3的倍数，所以（x³-1）²⁰¹⁴ 的展开式中没有x²⁰¹⁴项，
由代数式恒成立，得
D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

=0．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．