Question

设矩阵M=

a 0 0 b

（其中a＞0，b＞0）．
（1）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

x2

4

+y²=1，求a，b的值；
（2）若a=2，b=3，

a

=

1 2

，求M³

a

．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′，y′），可得

x′=ax y′=by

，利用点P′（x′，y′）在曲线C′上，可得曲线C的方程，根据已知曲线C的方程，比较系数可得结论；
（2）求出特征值与特征向量，即可求M³

a

．

解答： 解：（1）由

x′ y′

=M

x y

得

x′=ax y′=by

?…2分
将式代入曲线C′的方程得

(ax)2

4

+(by)2=1…3分
∴

a2 4 =1 b2=1

，
∵a＞0，b＞0，
∴a=2，b=1；…6分
（2）当a=2，b=3时矩阵M的特征多项式方程为f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0…7分
∴λ₁=2，λ₂=3…8分
又属于λ₁=2的一个特征向量为

α1

=

1 0

；属于λ₂=3的一个特征向量为

α2

=

0 1

．…10分
而

α

=

α1

+2

α2

，
∴M3

α

=1•2³

α1

+2•3³

α2

=

8 54

．…13分．

点评：本题考查矩阵变换的应用，特征值与特征向量，考查学生的计算能力，比较基础．