Question

已知集合A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}，函数y=lg

x-(a2+2)

2a-x

的定义域为集合B．
（1）若a=1，求集合A∩∁_RB
（2）已知a＞-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交、并、补集的混合运算

专题：简易逻辑

分析：（1）求解集合A．B根据集合的基本运算即可得到结论．
（2）求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论

解答： 解：（1）若a=1，则A={x|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}，
函数y=lg

x-(a2+2)

2a-x

=lg

x-3

2-x

，由

x-3

2-x

＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3），
则∁_RB={x|x≤2或x≥3}，
则A∩∁_RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，
（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，
若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}
由g

x-(a2+2)

2a-x

＞0得（x-2a）[x-（a²+2）]＜0，
∵a²+2-2a=（a-1）²+1＞0，
∴a²+2＞2a
∴（x-2a）[x-（a²+2）]＜0的解为2a＜x＜a²+2，即B={x|2a＜x＜a²+2}
若x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件
则B?A，
即

2a≥1 a2+2≤2a+3

且等号不能同时取，
即

a≥ 1 2 a2-2a-1≤0

，则

a≥ 1 2 1- 2 ≤a≤1+ 2

，
即

1

2

≤a≤1+

2

．

点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，求出对应的集合是解决本题的关键．