Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

②f（3x）=3f（x），设关于x的函数F（x）=f（x）-1的零点从小到大依次记为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，…，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由F（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，分别作出函数y=f（x）和y=1的图象，利用数形结合得到函数的对称轴即可得到结论．

解答： 解：由F（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，分别作出函数y=f（x）和y=1的图象如图：
则在[1，27]内两个函数有5个零点，
且x₁=2，x₂与x₃关于x=6对称，x₄与x₅关于x=18对称…，
则

x2+x3

2

=6，

x4+x5

2

=18，
即x₂+x₃=12，x₄+x₅=36，
则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2+12+36=50，
故答案为：50

点评：本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性，利用数形结合得到函数的对称性是解决本题的关键．难度较大．