Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a≤

1

2

）． 
（1）若a=0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=0，则函数f（x）=-|x|-1，由此求得它的单调增区间．
（2）分①当a=0时、②当0＜a≤

1

2

时、③当a＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质求得f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a），综合可得结论．

解答： 解：（1）若a=0，则函数f（x）=-|x|-1，它的单调增区间为（-∞，0]．
（2）∵f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），
①当a=0时，函数f（x）=-|x|-1在区间[1，2]上单调递减，最小值g（a）=f（2）=-3．
②当0＜a≤

1

2

时，f（x）=ax²-x+2a-1，f（x）的对称轴为x=

1

2a

≥1，
若0＜a＜

1

4

，f（x）的对称轴为x=

1

2a

＞2，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
最小值g（a）=f（2）=2a-3．
若

1

4

≤a≤

1

2

，f（x）的对称轴为x=

1

2a

∈[1，2]，函数f（x）在区间[1，2]上最小值
g（a）=f（

1

2a

）=

8a2-4a-1

4a

．
③当a＜0时，f（x）=ax²-x+2a-1，f（x）的对称轴为x=

1

2a

＜0，
函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，最小值g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得，g（a）=

6a-3，a＜ 1 4 8a2-4a-1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．