Question

已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（I）f(x)=

-3x+1，x≤-1 -x+3，-1＜x≤1 3x-1，x＞1

．…（1分）
当x≤-1时，由-3x+1＜4得x＞-1，此时无解；
当-1＜x≤1时，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；
当x＞1时，由3x-1＜4得x＜

5

3

，∴1＜x＜

5

3

．…（4分）
综上，所求不等式的解集为{x|-1＜x＜

5

3

}．…（5分）
（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…（7分）
不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，
即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范围为{a|-3≤a≤1}．…（10分）

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．