Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P，Q，M，N椭圆C上四点，已知

PF

与

FQ

共线，

MF

与

FN

共线，且

PF

•

MF

=0，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设F（c，0），O到直线l的距离为

c

2

=

2

2

，又e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，PQ方程为y=k（x-1），将此式代入椭圆方程，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，推导出|PQ|=

12(k2+1)

4k2+3

．当k≠0时，得|MN|=

12( 1 k2 +1)

4 k2 +3

，由此求出四边形面积S≥

288

49

．当k=0时，PQ为椭圆长轴，|PQ|=4，|MN|=3，S=

1

2

|PQ||MN|=6．所以四边形PMQN面积的最小值为

288

49

．

解答： 解：（1）设F（c，0），过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，l的斜率为1，
直线l的方程为x-y-c=0，
O到直线l的距离为

c

2

=

2

2

，
解得c=1，又e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），且PQ⊥MN，
直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，
又PQ过点F（1，0），故PQ方程为y=k（x-1），
将此式代入椭圆方程，得：
（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设P、Q两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
从而|PQ|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

144(k2+1)2

(4k2+3)2

，
∴|PQ|=

12(k2+1)

4k2+3

．
（i）当k≠0时，MN的斜率为-

1

k

，同理推得|MN|=

12( 1 k2 +1)

4 k2 +3

，
故四边形面积S=

1

2

|PQ|•|MN|=

72(k2+1)( 1 k2 +1)

(4k2+3)( 4 k2 +1)

=

72(k2+ 1 k2 +2)

12(k2+ 1 k2 )+25

，
令μ=k2+

1

k2

，得S=

72(μ+2)

12μ+25

=6（1-

1

12μ+25

），
∵μ=k2+

1

k2

≥2，当k=±1时，μ=2，S=

288

49

，
且S是以μ为自变量的增数，
∴S≥

288

49

．
（ii）当k=0时，PQ为椭圆长轴，|PQ|=4，|MN|=3，
S=

1

2

|PQ||MN|=6．
综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最小值为

288

49

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．