Question

学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,抛物线的应用

专题：综合题,导数的综合应用,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立适当直角坐标系，设抛物线方程为y=ax²（-1≤x≤1），由抛物线过点B（1，2），可得a=2，可求出抛物线方程，从而求出水面宽；（Ⅱ）利用定积分求出曲面的面积，再利用柱体的体积公式求出体积；
（Ⅲ）易知为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点P（t，2t²）（0＜t≤1）是抛物线弧OB上的一点，过P作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为：y-2t²=4t（x-t），于是C（

1

2

t，0），D（

1

2

t+

1

2t

，2），记梯形OCDE的面积为S，则S=2（（

1

2

t+

1

2

t+

1

2t

）×2×

1

2

=2（t+

1

2t

），利用基本不等式即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为y=ax²（-1≤x≤1）．
则由抛物线过点B（1，2），可得a=2．
于是抛物线方程为y=2x²（-1≤x≤1）．
当y=1时，x=±

2

2

，由此知水面宽为

2

（米）．
（Ⅱ）V=2×150

∫

2 2 0

(1-2x2)dx=100

2

（立方米）
（Ⅲ）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．
设切点P（t，2t²）（0＜t≤1）是抛物线弧OB上的一点，过P作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为：y-2t²=4t（x-t），于是C（

1

2

t，0），D（

1

2

t+

1

2t

，2）．
记梯形OCDE的面积为

1

2

S，则S=2（

1

2

t+

1

2

t+

1

2t

）×2×

1

2

=2（t+

1

2t

）≥2

2

，
当且仅当t=

1

2t

，t=

2

2

时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为

2

2

米时，所挖的土最少．

点评：本题考查抛物线的标准方程、定积分的应用、基本不等式在求函数的最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．