Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数f（x）的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，根据导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数的导数，根据函数的极值和导数之间的关系求函数f（x）的极小值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．        
（2）f'（x）=-3x²+12x-9=-（3x-3）（x-3）．
令f'（x）=0，解得x=1或x=3．      
若a=3，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1），且f（1）=-4．

点评：本题主要考查导数的应用以及导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．