Question

已知f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos（2x₀+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

），求出函数的最小正周期以及最大、最小值；
（2）由（1）知，f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，求出sin（2x₀+

π

6

）的值，考虑x₀的取值范围，求出cos（2x₀+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）由题知，f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴函数的最小正周期为T=π；
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f(x)max=f(

π

6

)=2 ，f(x)min=f(

π

2

)=-1；
（2）由（1）知，f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，
∴f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]；
∴cos（2x₀+

π

6

）＜0，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

．

点评：本题考查了三角函数的求值问题以及三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应细心作答，以免出错，是基础题．