Question

设函数f（x）=(x+1)2+2ln

1

x

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a+1在区间[1，3]上恰好有两个相异的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，令f′（x）＞0，解不等式求出即可，（2））由f（x）=x²+x+a+1，lnx=

1

2

x-

1

2

a，令g（x）=lnx，h（x）=

1

2

x-

1

2

a，显然只需g（x）和h（x）在[1，3]上有两个交点即可，通过画出草图可一目了然．

解答： 解：（1）∵f′x）=2（x-

1

x

+1），（x＞0）
令f′（x）＞0，解得：x＞-

1

2

+

5

2

=

5 -1

2

，或x＜-

1

2

-

5

2

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

5 -1

2

，
∴f（x）在（0，

5 -1

2

）递减，在（

5 -1

2

，+∞）递增；
（2）∵f（x）=x²+x+a+1，
即：（x+1）²+2ln

1

x

=x²+x+a+1，
整理得：lnx=

1

2

x-

1

2

a，
令g（x）=lnx，h（x）=

1

2

x-

1

2

a，
显然只需g（x）和h（x）在[1，3]上有两个交点即可，
当h（x）和g（x）相切时，
有g′（x）=

1

x

=

1

2

，
∴x=2，
∴切点为（2，ln2），
把（2，ln2）代入h（x）得：a=2-2ln2，
而x=3时，g（3）=ln3，
把（3，ln3）代入h（x）得：a=3-ln3，
∴a的范围是：（2-ln2，3-ln3]．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道中档题．