Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥ABCD，ED=1，EF∥BD，且EF=

1

2

BD．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF；
（3）求二面角B-AF-C的大小．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=

1

2

BD，连接EO，则可证出四边形EFBO是平行四边形，从而BF∥EO，最后结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（2）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得AC⊥ED，从而得以AC⊥平面BDEF，由此能证明面EAC⊥面BDEF．
（3）证明BO⊥面ACF，过点O作OG⊥AF于点G，连接GB，则∠OGB为二面角B-AF-C的平面角，则可求；

解答： （1）证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=

1

2

BD，连接EO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE． 
（2）证明：∵ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BD，
∵ED⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴AC⊥ED，
∵BD∩ED=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF．
（3）解：：∵ABCD为正方形，∴BO⊥AC，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EFOD为平行四边形，
∴ED∥OF，OF⊥面ABCD，
∴OF⊥BO，
∵AC∩OF=O，
∴BO⊥面ACF，
过点O作OG⊥AF于点G，连接GB，则∠OGB为二面角B-AF-C的平面角．
在Rt△FOA中，可求得OG=

FO•AO

AF

=

6

3

，
∵OB=

2

，
∴tan∠OGB=

3

，
∴∠OGB=

π

3

，
∴二面角B-AF-C的大小为

π

3

．

点评：本题以一个特殊多面体为例，要我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定理等知识，属于中档题．