Question

过坐标原点作曲线y=lnx的切线l，该切线l与曲线y=lnx及x轴围成图形为D．
（1）求切线l的方程．
（2）求区域D的面积S．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）设出切点的坐标，根据设出的切点坐标和原点求出切线的斜率，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，进而得到切点坐标，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可；
（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．

解答： 解：（1）设切点坐标为（a，lna），
由切线过（0，0），得到切线的斜率k=

lna

a

，
又f′（x）=

1

x

，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=

1

a

，
所以

lna

a

=

1

a

，得到lna=1，解得a=e，
则切点坐标为（e，1），
所以切线方程为：y=

1

e

x；
（2）S=

1

2

•1•

1

e

+

∫

e 1

(

1

e

x-lnx)dx=

1

2e

+（

1

2e

x2-xlnx+x）

|

e 1

=

e

2

-1．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查定积分知识，同时考查了运算求解的能力．