Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．四点（-

3

，

3

2

）、（1，

3

2

）、（

2

，0）、（

3

，-

3

2

）中有三点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l过点A（2，0），与y轴交于点R，与椭圆C交于点Q（Q不与A重合）．过原点O作直线l的平行线m，直线m与椭圆C的一个交点记为P．问：是否存在常数λ使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比数列？若存在，请你求出实数λ的值；若不存在，请说明缘由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于椭圆是对称图形，得点(-

3

，

3

2

)、(

3

，-

3

2

)必在椭圆上，故

3

a2

+

3

4b2

=1；点(

2

，0)在椭圆上，

3

2

+

3

4b2

＞1矛盾，所以点(

3

，-

3

2

)也在椭圆上，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l：y=k（x-2），直线m：y=kx，联立得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0，由此求出存在常数λ使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比数列．

解答： 解：（1）由于椭圆是对称图形，
所以点(-

3

，

3

2

)、(

3

，-

3

2

)必在椭圆上，
于是有

3

a2

+

3

4b2

=1…①…（2分）
若点(

2

，0)在椭圆上，则a=

2

，
这样

3

2

+

3

4b2

＞1矛盾；  …（3分）
所以点(

3

，-

3

2

)也在椭圆上，即

1

a2

+

9

4b2

=1…②
由①②解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1…③…（5分）
（2）设直线l：y=k（x-2）…④
直线m：y=kx…⑤
④③联立，并整理得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0…（6分）|AQ|=

1+k2

162k4-4(3+4k2)(16k2-12)

3+4k2

=

1+k2

144

3+4k2

…（8分）
又由④可得R（0，2k），故|AR|=2

1+k2

；
方程③⑤联立消去y得：（3+4k²）x²-12=0
2|OP|=

1+k2

4×12(3+4k2)

3+4k2

，
|OP|=

1+k2

12(3+4k2)

3+4k2

…（10分）
要使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比数列，
只需|AQ|×|AR|=（λ|OP|）²，
即

1+k2

12

3+4k2

×2

1+k2

=(λ

1+k2

12(3+4k2)

3+4k2

)2
整理得λ²=2，所以存在，λ=±

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．