Question

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，a_n+2=

an+1+an

2

（n∈N^*）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a1q2=

a1q+a1

2

，解得q=1或q=-

1

2

，由此能求出a_n=1或an=(-

1

2

)n-1．
（2）当a_n=1时，b_n=n，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．当an=(-

1

2

)n-1时，bn=nan=n•(-

1

2

)n-1，由此利用裂项求和法能求出Sn=

4

9

-(

4

9

+

2n

3

)•(-

1

2

)n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，a_n+2=

an+1+an

2

（n∈N^*）
∴a3=

a2+a1

2

，∴a1q2=

a1q+a1

2

，
∴2q²-q-1=0，
解得q=1或q=-

1

2

，
∴a_n=1或an=(-

1

2

)n-1．
（2）当a_n=1时，b_n=n，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
当an=(-

1

2

)n-1时，bn=nan=n•(-

1

2

)n-1，
∴Sn=(-

1

2

)0+2•(-

1

2

)+3•(-

1

2

)2+…+n•(-

1

2

)n-1，①
-

1

2

Sn=(-

1

2

)+2•(-

1

2

)2+3•(-

1

2

)3+…+n•(-

1

2

)n，②
①-②，得

3

2

Sn=(-

1

2

)0+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-n•(-

1

2

)n
=

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

-n•(-

1

2

)n，
∴Sn=

4

9

-(

4

9

+

2n

3

)•(-

1

2

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．