Question

已知直线x=my+1过椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，且交椭圆于A，B两点，已知椭圆的离心率为方程2x²+x-1=0的实根，F₁为椭圆的左焦点，
（1）求证：△F₁AB的周长为定值，并求出定值；
（2）当△F₁AB的内切圆半径最大时，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）解方程2x²+x-1=0，得椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

c

a

=

1

2

，由直线x=my+1过椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，得k=1，由此能求出△F₁AB的周长为定值，定值为8．
（2）△F₁AB的内切圆半径最大时，|AF₂|=|BF₂|，由此能求出m=0．

解答： （1）证明：解方程2x²+x-1=0，得x₁=-1，x 2=

1

2

，
由题意知椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2k，b=

3

k，c=k，（k＞0），∴F₂（k，0），
∵直线x=my+1过椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，
∴k=1，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
∴△F₁AB的周长L=4a=8，
∴△F₁AB的周长为定值，定值为8．
（2）解：△F₁AB的内切圆半径最大时，
|AF₂|=|BF₂|，
此时直线方程为x=my+1=1，
解得m=0．

点评：本题考查三角形周长为定值的证明，考查三角形内切圆半径最大时实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．