Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc．
（1）求A的大小；
（2）若a=15，cos（B+

π

4

）=

5

5

，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由B的范围确定出B+

π

4

的范围，根据cos（B+

π

4

）的值求出sin（B+

π

4

）的值，由sinB=sin[（B+

π

4

）-

π

4

]，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求出sinB的值，再由a与sinA的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答： 解：（1）∵a²=b²+c²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A是三角形内角，∴0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

4

＜B+

π

4

＜

11π

12

，
∵cos（B+

π

4

）=

5

5

，
∴sin（B+

π

4

）=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

，
∴sinB=sin[（B+

π

4

）-

π

4

]=sin（B+

π

4

）cos

π

4

-cos（B+

π

4

）sin

π

4

=

2 5

5

×

2

2

-

5

5

×

2

2

=

10

10

，
则由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

15× 10 10

3 2

=

30

．

点评：此题考查正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．