Question

已知定义在R上的函数满足：①对任意0＜x＜1，都有f（x）＜0；②f（x）+f（y）=f（xy）对任意正实数x、y都成立．
（1）求证：x＞1时，f（x）＞0；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）如果f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）＜3，求x取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值法，设x=1，y=1，求得f（1）=0，再设x＞1，则0＜

1

x

＜1，令y=

1

x

，利用对任意0＜x＜1，都有f（x）＜0，得以证明；
（2）赋值法，设x=y且 x＞0，y＞0，求出f（x），利用定义证明即可．
（3）首先判断函数的单调性，再列出不等式组，解得即可．

解答： （1）解：设x=1，y=1得：f（1×1）=f（1）+f（1），
即f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再设x＞1，则0＜

1

x

＜1，令y=

1

x

，
∴f（x）+f（

1

x

）=f（1）
∴f（x）=-f（

1

x

），
∵f（

1

x

）＜0，
∴f（x）＞0．
（2）证明：设x=y且 x＞0，y＞0，
则f（x）=

f(x2)

2

，
当x＜0 时，-x＞0，
∴f（-x）=

f(x2)

2

=f（x）
∴f（x）为偶函数．
（3）解∵对x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，有x₂x₁＞0
∴f（x₂）+f（x₁）=f（x₂x₁）
∴f（x₂）-f（x₂x₁）=f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）＞0
∴f（x）在（1，+∞）为增函数，
同理f（x）在（-∞，1）为减函数，
∵3=1+1+1=f（4）+f（4）+f（4）=f（16）+f（4）=f（64），
∴f（3x+1）+f（2x-6）＜3=f（64）
∴

(3x+1)(2x-6)＜64 3x+1≥1 2x-6≥1

解得

7

2

≤x＜5
同理f（x）在（-∞，1）为减函数，
∴

(3 x+1)(2x-6)＞64 3x+1＜1 2x-6＜1

解得，x＜-

7

3

，
综上所述：x取值范围（-∞，-

7

3

）∪[

7

2

，5）

点评：本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义，以及利用单调性构造不等式，属于难题．