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已知A(-1,0),B(2,0),动点M(x,y)满足
|MA|
|MB|
=
1
2
,设动点M的轨迹为C.
(1)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹C是什么图形;
(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值;
(3)设直线l:y=x+m交轨迹C于P,Q两点,是否存在以线段PQ为直径的圆经过A?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
(1)
(x+1)2+y2
(x-2)2+y2
=
1
2

化简可得(x+2)2+y2=4.
轨迹C是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆(3分)
(2)设过点B的直线为y=k(x-2).圆心到直线的距离d=
|-4k|
k2+1
≤2
-
3
3
≤k≤
3
3
,kmin=-
3
3
(7分)
(3)假设存在,联立方程
y=x+m
(x+2)2+y2=4
得2x2+2(m+2)x+m2=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则x1+x2=-m-2,x1x2=
m2
2

PA⊥QA,∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(x1+m)(x2+m)=0,
2x1x2+(m+1)(x1+x2)+m2+1=0得m2-3m-1=0,
m=
13
2
且满足△>0.∴m=
13
2
(12分)
练习册系列答案
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两圆x2+y2=4和(x-3)2+(y-4)2=9的位置关系是(  )
A.相离B.相交C.外切D.内切

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已知点A(-
2
,0),B(
2
,0)
,P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是-
1
2

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程,并求出曲线C的离心率的值;
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已知点A(0,
3
)
和圆O1x2+(y+
3
)2=16
,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹方程.

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A.2πB.
2
π
C.πD.4
2
π

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(1)求C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与曲线C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

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设x,y∈R,若向量
a
=(x,y+2)
b
=(x,y-2)
,且|
a
|-|
b
|=2
,则点M(x,y)的轨迹C的方程为______.

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已知动圆过定点(1,0),且与直线x=-1相切.
(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点,且满足
OP
OQ
=0
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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