Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠2）；
（2）证明：联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（k²+3）x²+2kmx+m²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-

2km

k2+3

，x1x2=

m2-12

k2+3

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

m2-12

k2+3

+km•(-

2km

k2+3

)+m2
=

3m2-12k2

k2+3

．
设右顶点S（2，0），
则

SA

=(x1-2，y1)，

SB

=(x2-2，y2)，
又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，
∴

SA

•

SB

=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0．
∴

m2-12

k2+3

-2•(-

2km

k2+3

)+4+

3m2-12k2

k2+3

=0，
整理得：（m-k）（m+2k）=0，
∴k=m或k=-

m

2

．
当k=m时，直线l为y=mx+m=m（x+1），直线过定点（-1，0）；
当k=-

m

2

，直线l为y=-

m

2

x+m=m(-

x

2

+1)，直线过定点（2，0），不合题意．
∴直线l过定点（-1，0）．