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圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5sinθ)2+(y-5cosθ)2=1(θ∈R),过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则
PE
PF
的最小值是(  )
A.6B.
56
9
C.7D.
65
9
(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径等于2,圆M (x-2-5sinθ)2+(y-5cosθ)2=1,
圆心M(2+5sinθ,5cosθ),半径等于1.∵|CM|=
(5sinθ)2+(5cosθ)2
=5>2+1,故两圆相离.
PE
PF
=|
PE
|•
|PF|
•cos∠EPF,要使
PE
PF
最小,需|
PE
|和
|PF|
最小,且∠EPF 最大,
如图所示,设直线CM 和圆C 交于H、G两点,则
PE
PF
的最小值是
HE
HF

|H M|=|CM|-2=5-2=3,|H E|=
|HM|2-|ME|2
=
9-1
=2
2
,sin∠MHE=
|ME|
|MH|
=
1
3

∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
7
9

HE
HF
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
2
×2
2
×
7
9
=
56
9
,故选 B.
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2
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2

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