Question

如图，在直角坐标系xoy中，AB是半圆O：x²+y²=1（y≥0）的直径，点C是半圆O上任一点，延长AC到点P，使CP=CB，当点C从点B运动到点A时，动点P的轨迹的长度是（　　）

A．2π

B． 2 π

C．π

D．4 2 π

Answer 1

连结BP，根据题意可得△BCP是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直线PA到PB的角为45°，
设P（x，y），可得k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，
∴tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 • y x+1

=1，
化简得x²+（y-1）²=2．
∴点P的轨迹方程为x²+（y-1）²=2，
由已知y≥0可得k_PA=

y

x+1

＞0，
可知P点的轨迹是以（0，1）为圆心、半径r=

2

的半圆，
可得轨迹的长度是

1

2

×2πr=

2

π．
故选：B