【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,D为棱BB1上一点,且平面DA1C⊥平面AA1C1C.
(1)求证:D点为棱BB1的中点;
(2)判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等,并证明.
【答案】
(1)过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF.
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C,
∴DE⊥面AA1C1C.
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC为等腰三角形,易知BF⊥AC,
∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,
故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,
所以 ,所以D点为棱BB1的中点.
(2)相等.证明:ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴BB1⊥A1B1,BB1⊥BC,
又A1B1⊥B1C1,BC⊥AB,
∴A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD(9分)
∴
∵D为BB1中点,
∴ =
【解析】分析:(1)过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF,推出 ,即可证明D点为棱BB1的中点;(2)求出四棱锥A1﹣B1C1CD的底面面积和高,再计算C﹣A1ABD的体积,即可判断体积相等.
【考点精析】掌握平面与平面垂直的性质是解答本题的根本,需要知道两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
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【题目】若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AP=1,AD=2,E为线段PD上一点,记 =λ. 当λ= 时,二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为 .
(1)求AB的长;
(2)当 时,求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值.
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【题目】如图,已知椭圆: 的离心率为, 为椭圆的右焦点, , .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点, 为椭圆上一点, 的中点为,直线与直线交于点,过作,交直线于点,求证: .
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【题目】如图所示,ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1 , B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP= ,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
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【题目】已知空间四边形ABCD,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是边BC、DC的三等分点(如图),
求证:
(1)对角线AC、BD是异面直线;
(2)直线EF和HG必交于一点,且交点在AC上.
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【题目】某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示
年份200x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口数y(十)万 | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a;
(3)据此估计2005年该城市人口总数.
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