Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4在x=0处取得极值．
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）当a=-3时，若函数f（x）≥c²-10c在区间[-2，2]上恒成立，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$，求g（x）在[0，1]上的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=x³+ax²+bx+4在x=0处取得极值，即可求出b的值；
（Ⅱ）当a=-3时，求出函数f（x）的最小值-16，根据-16≥c²-10c在区间[-2，2]上恒成立，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$，分类讨论，利用导数的正负，即可求g（x）在[0，1]上的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b…（1分）
又∵函数f（x）=0在x=0处取得极值
∴f′（0）=b=0；　　　　　　              …（2分）
（Ⅱ） 当a=-3时，f（x）=x³-3x²+4
∴f′（x）=3x²-6x=0
得x=0或x=2                  …（3分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	-16	↗	极大值4	↘	0

由表可知，当x=-2时，f（x）取得最小值f（-2）=-16           …（5分）
∵函数f（x）≥c²-10c在区间[-2，2]上恒成立，
∴-16≥c²-10c，解得2≤c≤8；           …（7分）
（Ⅲ）∵g（x）=e^x$•\frac{f′（x）}{x}$=e^x（3x+2a），
∴g′（x）=e^x（3x+2a+3），x∈[0，1]…（8分）
①当a≤-3时，-$\frac{2a+3}{3}$≥1，
∴x∈[0，1]时，g′（x）≤0，
∴g（x）的单调递减区间为[0，1]；                …（9分）
②当-3＜a＜-$\frac{3}{2}$时，0＜-$\frac{2a+3}{3}$＜1
当x∈（0，-$\frac{2a+3}{3}$）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间为（0，-$\frac{2a+3}{3}$），
当x∈（-$\frac{2a+3}{3}$，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调递增区间（-$\frac{2a+3}{3}$，1），…（11分）
③当a≥-$\frac{3}{2}$时，-$\frac{2a+3}{3}$≤0
∴当x∈[0，1]时，g′（x）≥0，
∴g（x）的单调递增区间为[0，1]…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值与最小值，考查函数的单调性，属于中档题．