Question

17．圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P的弦，
（1）若|AB|=2$\sqrt{7}$，求出直线AB的方程；
（2）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用点线距离公式，即可求出直线AB的方程；
（2）设过P点的弦的中点为M，分类讨论，利用k_OM•k_MP=-1，即可求点M的坐标所满足的关系式．

解答 解：（1）因为$|{AB}|=2\sqrt{7}$所以圆心到直线的距离为$d=\sqrt{8-7}=1$（1分）
当直线AB的斜率不存在时，x=-1此时d=1符合题意             （3分）
当直线AB的斜率存在时，可设方程为y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0
所以$d=\frac{|k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解得$k=-\frac{3}{4}$
此时直线的方程为$y-2=-\frac{3}{4}（x+1）$即3x+4y-5=0（6分）
综合上述，直线AB的方程为x=-1或3x+4y-5=0    （7分）
（2）设AB的中点为M（x，y），则OM⊥AB（8分）
当OM的斜率和AB斜率都存在时：则k_OM•k_MP=-1即$\frac{y-2}{x+1}×\frac{y}{x}=-1，化简得{x^2}+{y^2}-2y+x=0$（11分）
当OM斜率不存在时点M为（0，2）满足上式，
当AB斜率不存在时点M为（-1，0）亦满足上式，
所以M点的轨迹为x²+y²-2y+x=0．                              （14分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．