请仔细阅读以下材料:已知f上的单调递增函数．求证:命题“设a.b∈R+.若ab＞1.则f＞f(1a)+f(1b) 是真命题．证明因为a.b∈R+.由ab＞1得a＞1b＞0．又因为f上的单调递增函数.于是有f(a)＞f(1b)． ①同理有f(b)＞f(1a)． ②由①+②得f＞f(1a)+f(1b)．故.命题“设a.b∈R+.若ab＞1.则f� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

请仔细阅读以下材料：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R⁺，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(

)+f(

)”是真命题．
证明因为a，b∈R⁺，由ab＞1得a＞

＞0．
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(

)． ①
同理有f(b)＞f(

)． ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(

)+f(

)．
故，命题“设a，b∈R⁺，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(

)+f(

)”是真命题．
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R⁺，若f(a)+f(b)＞f(

)+f(

)，则：ab＞1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f（a^x-1）+f（2^x）＞f（a^1-x）+f（2^-x）（其中a＞0）．

考点：抽象函数及其应用,四种命题,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R⁺，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(

)+f(

)，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；
（2）利用（1）的结论有：a^x-1•2^x＞1，即：（2a）^x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．

解答： 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．
原命题的逆否命题：设a，b∈R⁺，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(

)+f(

)，
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为a，b∈R⁺，由ab≤1，得：0＜a≤

，
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数
所以f(a)≤f(

)…（1）
同理有：f(b)≤f(

)…（2）
由（1）+（2）得：f(a)+f(b)≤f(

)+f(

)
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题．

（2）由（1）的结论有：a^x-1•2^x＞1，即：（2a）^x＞a，
①当2a＞1时，即a＞

时，不等式的解集为：（log_2aa，+∞）；
②当0＜2a＜1时，即0＜a＜

时，不等式的解集为：（-∞，log_2aa）；
③当2a=1时，即a=

时，不等式的解集为：R．

点评：本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键．

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