Question

17．已知圆C：x²+y²+2x-4y+a=0，点M（0，1）为圆内的一点．直线l与圆C相交于A，B两点，且点M恰好为弦AB的中点．
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点O，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为-1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；
（2）求出A，B的坐标，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求出a，即可求圆C的方程．

解答 解：（1）圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5-a，
则圆心C（-1，2），半径r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即（0+1）²+（1-2）²＜5-a，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y-1=x，即x-y+1=0；
（2）由圆C：x²+y²+2x-4y+a=0，与x-y+1=0联立得2x²+a-3=0，故x=±$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$．
不妨设$A（\sqrt{\frac{3-a}{2}}，\sqrt{\frac{3-a}{2}}+1）$，$B（-\sqrt{\frac{3-a}{2}}，-\sqrt{\frac{3-a}{2}}+1）$…（7分）
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，故a=2…（9分）
故圆C：x²+y²+2x-4y+2=0…（10分）

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查向量知识的运用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．