Question

8．设直线2x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线的方程是（　　）

• A． 3x-2y-3=0
• B． 3x-2y+3=0
• C． 2x-3y-3=0
• D． 2x-3y+3=0

Answer 1

分析 联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于-1，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式．

解答 解：联立得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y+1=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-2x-3=0}\end{array}\right.$，
解得：13x²-14x-26=0，同理解得13y²+18y-7=0
因为点A和点B的中点M的坐标为（x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$），
利用根与系数的关系可得：M（$\frac{7}{13}$，-$\frac{9}{13}$）；
又因为直线AB：2x+3y+1=0的斜率为-$\frac{2}{3}$，
根据两直线垂直斜率乘积等于-1可知垂直平分线的斜率为$\frac{3}{2}$；
所以弦AB的垂直平分线方程为y+$\frac{9}{13}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{7}{13}$），化简得3x-2y-3=0，
故选：A．

点评 考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为-1，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．