Question

【题目】已知常数，函数．

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)求导后讨论导函数的取值情况继而得到原函数的单调性

(2)结合(1)中可得两个极值点情况，代入化简的表达式，换元令后再次对新函数求导来解答参量的取值范围

解：（1），

①当，即时，，在上递增；

②当，即时，由，得，

解得（舍去），，且，，

所以在上递减，在上递增.

（2）由（1）知，若存在两个极值点，则；

且，分别是的极大值点和极小值点。

由的定义域知，且，解得；

又

将，代入，

得

令，得，由且知，且，

记，

①当时，，，故在上递减，

所以，即当，即时，；

②当时，，，故在上递减，

，即当，即时，.

综上所述，满足条件的的取值范围是.