Question

【题目】在圆上有21个点.证明：以这些点为端点组成的所有弧中，不超过120°的弧不少于100条.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

圆上任三点分圆所成的三段弧中，至少有一段弧超过120°.将这不超过120°弧的两个端点连上弦，这样，圆上任意三个点中至少有两点有弦（称为“边”)相连.由于这样的“边”与不超过120°的弧建立一一对应.所以只需证明，圆上21个点连结的“边”不少于100即可.

设是连结“边”数最少的那个顶点，，

是从引出的共有条“边”.

由于每个点引出不少于条“边”，所以，所有这些“边“不少于条.其余个点中的任意点，它们不应与有“边”连结.但任三点中都至少有两个点有“边”连结，所以它们每两个点间都有“边”连结.这样，又得到不少于条“边，以表记这21个点间连有“边”的总数，则.

由，的极小值点邻近的整数为及.

在中，，

.

上述最小值是可以达到的.作圆的一条直径.在点近旁的圆弧上取10个点，在点的近旁的圆弧上取11个点.即可合于要求.这21个点间连结有条“边”