Question

“关于x的不等式x+

1

x

＞a在区间[

1

2

，2]内至少有一个解”是“a＜2”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：由关于x的不等式x+

1

x

＞a在区间[

1

2

，2]内至少有一个解，可得a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：由关于x的不等式x+

1

x

＞a在区间[

1

2

，2]内至少有一个解，∴a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．
令f（x）=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]．则f′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
当x∈[

1

2

，1)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∵f(

1

2

)=

5

2

=f（2）．
∴当x=2或

1

2

时，函数f（x）取得最大值

5

2

．
∴a＜

5

2

．
“关于x的不等式x+

1

x

＞a在区间[

1

2

，2]内至少有一个解”是“a＜2”的必要非充分条件．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、简易逻辑，属于中档题．