Question

已知函数f（x）=x3﹣x2++，且存在x0∈（0，），使f（x0）=x0．

（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；

（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，证明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；

（3）证明：＜．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）证明函数f（x）在R上的单调增，只需证其导函数在R上恒大于零即可；

（2）先验证n=1时是否成立，假设当n=k（k≥1）时有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk，再验证n=k+1时是否成立；

（3）利用基本不等式进行化简，利用整体的思想转化成二次函数，再根据二次函数性质求函数的最值即可．

【解析】
（1）∵f'（x）=3x2﹣2x+=3（x﹣）2+＞0，

∴f（x）是R上的单调增函数．

（2）∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1．又f（x）是增函数，

∴f（x1）＜f（x0）＜f（y1）．即x2＜x0＜y2．

又x2=f（x1）=f（0）=＞0=x1，y2=f（y1）=f（）=＜=y1，

综上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1．

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，上面已证明成立．

②假设当n=k（k≥1）时有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk．

当n=k+1时，

由f（x）是单调增函数，有f（xk）＜f（xk+1）＜f（x0）＜f（yk+1）＜f（yk），

∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1

由①②知对一切n=1，2，都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn．

（3）==yn2+xnyn+xn2﹣（yn+xn）+≤（yn+xn）2﹣（yn+xn）+

=[（yn+xn）﹣]2+．

由（Ⅱ）知0＜yn+xn＜1．

∴﹣＜yn+xn﹣＜，

∴＜（）2+=