Question

已知命题p：存在x∈[1，4]使得x²-4x+a=0成立，命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（x²-ax+4）恒有意义．
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题

分析：（1）根据函数的根的存在性定理分两类存在一个x∈[1，4]满足条件和存在两个x∈[1，4]满足条件，求出p是真命求实数a的取值范围
（2）本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先求出简单命题为真命题的参数范围，再根据真值表进行判断．

解答： 解：（1）设g（x）=x²-4x+a，对称轴为x=2
若存在一个x∈[1，4]满足条件，则g（1）＜0，g（4）≥0，得0≤a＜3，…（3分）
若存在两个x∈[1，4]满足条件，则g（1）≥0，g（2）≤0，得3≤a≤4，
故p是真命题时实数a的取值范围为0≤a≤4…（6分）
（2）由题意知p，q都为假命题，
若p为假命题，则a＜0或a＞4…（8分）
若命题q为真命题即对于任意x∈R，函数f（x）=lg（x²-ax+4）恒有意义
所以x²-ax+4＞0恒成立
所以△=a²-16＜0得-4＜a＜4
所以q为假命题时a≤-4或a≥4…（10分）
故满足条件的实数a的取值范围为a≤-4或a＞4…（12分）

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先求出简单命题为真命题的参数范围，属于中档题目．