Question

【题目】如图，在六面体ABCDEFG中，平面平面DEFG，平面DEFC，，，且.

（1）求证：平面ACGD；

（2）若，求点D到平面GFBC的距离

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

证明，，得到平面DEFG，得到平面平面DEFG，取DG的中点为M，连接AM、FM，证明，推出平面ACGD．

以DG、DE、DA为方向建立空间直角坐标系，求出平面BGF法向量，通过点D到平面即平面的距离，求解即可．

（1）证明：已知如图：

∵平面平面DEFG，平面平面，

平面平面，

∴，

∵，

∴ADEB为平行四边形，.

∴平面DEFG，

∵平面BEF，

∴平面平面DEFG.

取DG的中点为M，连接AM、FM，

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，

∴，

又∵，

∴

∴四边形ABFM是平行四边形，即，

又平面ACGD，

故平面ACGD.

（2）由（1）得平面，所以，

根据几何关系得：

以DG、DE、DA为方向建立空间直角坐标系，如图

则，，

所以，

设平面法向量为，

则，取得

所以点到平面（即平面）的距离

.